Euklidische Geometrie

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Quelle: Wikipedia. Seiten: 35. Kapitel: Klassische Probleme der antiken Mathematik, Durchmesser, Schwerpunkt, Orthogonalität, Parallelenaxiom, Mittelpunkt, Kongruenz, Euklidischer Raum, Formelsammlung Geometrie, Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie, Kusszahl, Parkettierung, Quadrik, Isometrie, Achsensymmetrie, Geometrischer Ort, Strecke, Abstand, Gömböc, Parallelverschiebung, Schläfli-Symbol, Euklidischer Abstand, Höhe, Jordanscher Kurvensatz, Lot, Nenndurchmesser, Axiom von Pasch, Drehung, Komplanarität, Satz von Beckman und Quarles, Fußpunkt, Dilatation, Applikate. Auszug: Zunächst bezeichnet der Begriff euklidischer Raum den "Raum unserer Anschauung" wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie). Bis ins 19. Jahrhundert wurde davon ausgegangen, dass dadurch der uns umgebende physikalische Raum beschrieben wird. Der Zusatz "euklidisch" wurde nötig, nachdem in der Mathematik allgemeinere Raumkonzepte (z. B. hyperbolischer Raum, riemannsche Mannigfaltigkeiten) entwickelt wurden und es sich im Rahmen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zeigte, dass zur Beschreibung des Raums in der Physik andere Raumbegriffe benötigt werden (Minkowski-Raum, Lorentz-Mannigfaltigkeit). Im Laufe der Zeit wurde Euklids Geometrie auf verschiedene Arten präzisiert und verallgemeinert: Wenn vom euklidischen Raum die Rede ist, dann kann jede von diesen gemeint sein oder auch eine höherdimensionale Verallgemeinerung. Den zweidimensionalen euklidischen Raum nennt man auch euklidische Ebene. In diesem zweidimensionalen Fall wird der Begriff in der synthetischen Geometrie etwas allgemeiner gefasst: Euklidische Ebenen können dort als affine Ebenen über einer allgemeineren Klasse von Körpern, den euklidischen Körpern definiert werden. Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man Längen und Winkel messen kann und demzufolge die Abbildungen auszeichnet, die Längen und Winkel erhalten. Diese nennt man traditionell Kongruenzabbildungen, andere Bezeichnungen sind Bewegungen und Isometrien. Vom hyperbolischen Raum unterscheidet er sich dadurch, dass das Parallelenaxiom gilt. In der analytischen Geometrie ordnet man dem euklidischen Raum einen Vektorraum zu. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist, die Menge der Parallelverschiebungen (Translationen) zu nehmen, versehen mit der Hintereinanderausführung als Addition. Jede Verschiebung lässt sich durch einen Pfeil beschreiben, der einen Punkt mit seinem Bildpunkt verbindet. Dabei beschreiben zwei Pfeile, die gleichsinnig parallel sind und